Calcule a integral

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x d x

Vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln ⁡ ln ⁡ x , teremos d u = d x x ln ⁡ x . Fazendo esta mudança na integral, obtemos:

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x d x = ∫ u   d u

Uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos resolver a integral que encontramos no final do passo anterior. Portanto, temos:

∫ u   d u = u 2 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

u 2 2 + k = ln ⁡ ln ⁡ x 2 2 + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte primitiva.

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ln ⁡ x 2 2 + k

Resposta

∫ ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ln ⁡ x 2 2 + k

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