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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 12

Calcule a integral

int (ln (ln x))/(x ln x) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (ln (ln x))/(x ln x) d x

Vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln (ln x) , teremos d u = (d x)/(x ln x) . Fazendo esta mudança na integral, obtemos:

int (ln (ln x))/(x ln x) d x = int u d u

Uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos resolver a integral que encontramos no final do passo anterior. Portanto, temos:

int u d u = (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

(u^2)/(2) + k = ((ln (ln x))^2)/(2) + k

Portanto, a integral indefinida do nosso problema possui a seguinte primitiva.

int (ln (ln x))/(x ln x) d x = ((ln (ln x))^2)/(2) + k

Resposta

int (ln (ln x))/(x ln x) d x = ((ln (ln x))^2)/(2) + k

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