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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 38

Calcule a integral.

int_0^((pi)/(4)) tg^5 theta sec^3 theta d theta

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos tangente e secante na expressão, vamos separar um pouco a expressão para usar Substituição:

int_0^((pi)/(4)) tg^5 theta sec^3 theta d theta = int_0^((pi)/(4)) (tg^2 theta)^2 sec^2 theta sec theta tg theta d theta = int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta - 1)^2 sec^2 theta sec theta tg theta d theta

Repare que também usamos a identidade trigonométrica tg^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 2

Vamos fazer a Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão da secante , vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sec theta

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = sec theta tg theta d theta

Vamos mudar os limites de integração também:

u = sec 0 = 1 e u = sec (pi)/(4) = sqrt(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int_0^((pi)/(4)) (sec^2 theta - 1)^2 sec^2 theta sec theta tg theta d theta = int_1^(sqrt(2)) (u^2 - 1)^2 u^2 d u = int_1^(sqrt(2)) (u^4 - 2 u^2 + 1) u^2 d u = int_1^(sqrt(2)) u^6 - 2 u^4 + u^2 d u

Passo 3

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int u^6 - 2 u^4 + u^2 d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Vamos usar:

int u^6 - 2 u^4 + u^2 d u = int u^6 d u + int - 2 u^4 d u + int u^2 d u = (u^7)/(7) - 2 int u^4 d u + (u^3)/(3) = (u^7)/(7) - (2 u^5)/(5) + (u^3)/(3) + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_1^(sqrt(2)) u^6 - 2 u^4 + u^2 d u = ((u^7)/(7) - (2 u^5)/(5) + (u^3)/(3))_1^(sqrt(2)) = ((sqrt(2))^7)/(7) - (2 (sqrt(2))^5)/(5) + ((sqrt(2))^3)/(3) - ((1^7)/(7) - (2 . 1^5)/(5) + (1^3)/(3)) = (22 sqrt(2))/(105) - (1 8)/(105) = (22 sqrt(2) - 18)/(105)

Resposta

int_0^((pi)/(4)) tg^5 theta sec^3 theta d theta = (22 sqrt(2) - 18)/(105)

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