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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 69

69. Comprimento de arco Determine o comprimento da curva

y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) ,         0 ≤ x ≤ π 4

Passo 1

Temos que calcular o comprimento de arco.

Lembrando que o comprimento de arco é calculado da seguinte forma

L = ∫ 0 π 4 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Vamos lá

Primeiro vamos calcular a derivada de y

d y d x = 1 sec ⁡ x sec ⁡ x t g   x = t g   x

Agora podemos aplicar na formula

L = ∫ 0 π 4 1 + t g 2 x d x

Mas olha só, conseguimos uma relação trigonométrica aqui

1 + t g 2 x = s e c 2 x

Então nossa integral fica

L = ∫ 0 π 4 s e c 2 x   d x

Passo 3

Agora só precisamos calcular a integral

∫ 0 π 4 s e c 2 x   d x = l n ⁡ | sec ⁡ x + t g x ] π 4 0

ln ⁡ sec ⁡ π 4 + t g π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + t g   0 = ln ⁡ | 2 + 1 | - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

ln ⁡ 2 + 1

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