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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 24

Calcule a integral.

int ln (x^2 - 1) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (x) = ln (x^2 - 1) e g ' (x) = d x :

f^' (x) = (2 x)/(x^2 + 1) d x e g (x) = x

Vamos substituir agora:

int ln (x^2 - 1) d x = x ln (x^2 - 1) - int x . (2 x)/(x^2 + 1) d x = x ln (x^2 - 1) - int (2 x^2)/(x^2 + 1) d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Para calcular a integral vamos fazer umas manipulações:

int (2 x^2)/(x^2 + 1) d x = int (2 x^2)/((x - 1) (x + 1)) d x = int 2 + (2)/((x - 1) (x + 1)) d x = int 2 + (1)/((x - 1)) - (1)/((x + 1)) d x = int 2 d x + int (1)/((x - 1)) d x + int - (1)/((x + 1)) d x

Passo 3

Vamos resolver as três integrais separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Assim:

int 2 d x = 2 x + C

Passo 4

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

u = x - 1

Derivando:

d u = d x

Substituindo temos:

int (1)/((x - 1)) d x = int (1)/(u) d u

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 5

Para a terceira vamos fazer uma Substituição:

u = x + 1

Derivando:

d u = d x

Substituindo temos:

int - (1)/((x + 1)) d x = int - (1)/(u) d u

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int - (1)/(u) d u = - int (1)/(u) d u = - ln |u| + C

Passo 6

Juntando tudo agora:

int (2 x^2)/(x^2 + 1) d x = int 2 d x + int (1)/((x - 1)) d x + int - (1)/((x + 1)) d x = 2 x + ln |u| - ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (2 x^2)/(x^2 + 1) d x = 2 x + ln |u| - ln |u| + C = 2 x + ln |x - 1| - ln |x + 1| + C

Voltando a expressão original:

int ln (x^2 - 1) d x = x ln (x^2 - 1) - int (2 x^2)/(x^2 + 1) d x = x ln (x^2 - 1) - 2 x - ln |x - 1| + ln |x + 1| + C

Resposta

int ln (x^2 - 1) d x = x ln (x^2 - 1) - 2 x - ln |x - 1| + ln |x + 1| + C

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