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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 72

72. Área Determine a área entre o eixo das abscissas e a curva 1 + cos ⁡ 4 x ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

O exercício se refere a essa região

E temos que determinar a área.

Passo 2

Vamos lá, a área vai ser a integral da função 1 + cos ⁡ 4 x

A = ∫ 0 π   1 + cos ⁡ 4 x d x  

Podemos fazer a seguinte substituição

x = u 2 d x = d u 2

Então ficaremos com

∫ 0 π   1 + cos ⁡ 4 x d x   = 1 2 ∫ 0 π   1 + cos ⁡ 2 u d u  

Mas

cos ⁡ 2 u = - 1 + 2 c o s 2 u

Então a integral fica

1 2 ∫ 0 2 π   1 + cos ⁡ 2 u d u   = 1 2 ∫ 0 2 π   1 - 1 + 2 c o s 2 u d u =   2 2 ∫ 0 π 2   cos ⁡ u d u + ∫ π 2 3 2 π - cos ⁡ u   d u + ∫ 3 π 2 2 π cos ⁡ u   d u

Passo 3

Agora vamos calcular a integral

2 2 ∫ 0 π 2   cos ⁡ u d u + ∫ π 2 3 2 π - cos ⁡ u   d u + ∫ 3 π 2 2 π cos ⁡ u   d u = 2 2 s e n π 2 + s e n 3 2 π - s e n π 2 + s e n   2 π - s e n 3 2 π =   2 2 1 + 2 + 1 = 2 2

Resposta

2 2

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