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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 2

Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas.

∫ θ . cos ⁡ θ . d θ ;               u = θ ,             d v = cos ⁡ θ . d θ

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá a integral pra a gente calcular:

∫ θ cos ⁡ θ d θ

Pra isso devemos usar integração por partes, mas pode ficar tranquilo que o enunciado também diz quem é u e quem é d v :

u = θ           d v = cos ⁡ θ d θ

Agora vamos refrescar a memória. A integração por partes é feita dessa forma aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Se já sabemos que é u e quem é d v , basta acharmos d u e v :

u = θ → d u d θ = 1

E

d v = cos ⁡ θ d θ →     v = sin ⁡ θ

Agora ficou fácil, bora substituir:

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ - ∫ sin ⁡ θ   d θ

Passo 2

Agora resolvemos a integral:

∫ sin ⁡ θ   d θ = - cos ⁡ θ + C

Agora juntando tudo:

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ + C

Resposta

∫ θ cos ⁡ θ d θ = θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ + C

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