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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 58

Avalie a integral.

int x^2 ln ( 1 + x ) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln (1 + x)

Assim, temos o nosso d u :

d u = (1)/(( 1 + x )) d x

O nosso d v é:

d v = x^2 d x

v = (x^3)/(3)

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int x^2 ln ( 1 + x ) d x = ln (1 + x) xx (x^3)/(3) - int (x^3)/(3) xx (1)/(( 1 + x )) d x

Calculando...

= ln (1 + x) xx (x^3)/(3) - (1)/(3) int (x^3)/(( 1 + x )) d x

Analogamente, temos:

= ln (1 + x) xx (x^3)/(3) - (1)/(3) int x^2 - x + 1 - (1)/(( 1 + x )) d x

Agora, resolvendo a integral:

= ln (1 + x) xx (x^3)/(3) - (x^3)/(9) + (x^2)/(6) - (x)/(3) + (1)/(3) ln |1 + x| + C

Prontinho!!

Resposta

int x^2 ln ( 1 + x ) d x = ln (1 + x) xx (x^3)/(3) - (x^3)/(9) + (x^2)/(6) - (x)/(3) + (1)/(3) ln |1 + x| + C

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