Avalie a integral.

int (ln (x + 1))/(x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln (1 + x)

Assim, temos o nosso d u :

d u = (1)/(( 1 + x )) d x

O nosso d v é:

d v = (d x)/(x^2)

v = - (1)/(x)

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

int u d v = u v - int v d u

Portanto:

int (ln (x + 1))/(x^2) d x = - ln (1 + x) xx (1)/(x) - int - (1)/(x) xx (1)/(( 1 + x )) d x

Calculando...

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) - int - (1)/(x ( 1 + x )) d x

Usando frações parciais na segunda integral, temos:

(1)/(x ( 1 + x )) = (A)/(x) + (B)/(1 + x)

Resolvendo temos que A = 1 e B = - 1 , portanto

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) + int (1)/(x) - (1)/(( 1 + x )) d x

Agora, resolvendo a integral:

= - ln (1 + x) xx (1)/(x) + ln |x| - ln |x + 1| + C

Prontinho!!

Resposta

int (ln (x + 1))/(x^2) d x = - ln (1 + x) xx (1)/(x) + ln |x| - ln |x + 1| + C

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