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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 40

Sejam s A = 15 t 2 + 10 t + 20 e s B = 5 t 2 + 40 t , t ≥ 0 , as funções posição dos carros A e B movendo-se ao longo de faixas paralelas retas de uma estrada.

  1. Quão adiantado está o carro A em relação ao carro B quando t = 0 ?
  2. Em que instantes os dois carros estão alinhados?
  3. Em que instantes os carros têm a mesma velocidade e qual é o carro que está na frente nesse momento?

Passo 1

  1. Para saber o quão adiantado está o carro A em relação ao carro B quando t = 0 é só substituir t = 0 nas duas expressões:

    2. s A = 15 ⋅ 0 2 + 10 ⋅ 0 + 20 = 20

    s B = 5 ⋅ 0 2 + 40 ⋅ 0 = 0

    Assim o carro A está à frente do carro B em 20 .

    Passo 2

  2. Para saber em que instantes os dois carros estão alinhados vamos procurar o tempo onde os dois carros estão na mesma posição, então vamos igualar as duas expressões e achar o tempo:

    3. 15 t 2 + 10 t + 20   = 5 t 2 + 40 t → 15 t 2 + 10 t + 20 - 5 t 2 - 40 t = 0 →

    1 0 t 2 - 3 0 t + 20 = 0

    t = 2

    t = 1

    Pronto, em t = 2 e t = 1 os carros estão alinhados.

    Passo 3

  3. Para achar os instantes em que os carros têm a mesma velocidade vamos primeiro achar as expressões das velocidades derivando as posições:

v A = s A ' = 15 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 + 10 + 0 = 30 t + 1 0

v B = s B ' = 5 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 + 40 = 10 t + 4 0

Agora é só igualar as duas velocidades para achar os instantes:

v A = v B → 30 t + 10 = 10 t + 40 → 20 t = 30 → t = 3 2 = 1 , 5

Então em t = 1,5 os carros têm a mesma velocidade.

Agora parar saber qual é o carro que está na frente nesse momento vamos substituir t = 1,5 nas posições dos dois carros para descobrir:

s A = 15 ⋅ 1,5 2 + 10 ⋅ 1,5 + 20 = 68,7 5

s B = 5 ⋅ 1,5 2 + 40 ⋅ 1,5 = 71,2 5

Assim o carro B está na frente.

Resposta

  1. 20
  2. t = 2 e t = 1
  3. t = 1,5 e o carro B está na frente
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Combine o gráfico das funções mostradas em (a) a (f) com os de suas derivadas em (A) a (F).
Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.Encontre f ' t se f t = 4 t 2 + t .
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(sqrt(x))
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(x + 1)
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(sqrt(x - 1))