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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

Calcule a integral.

int sen sqrt(a t) d t

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos uma raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(a t) -> u^2 = a t

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = a d t -> d t = (2 u d u)/(a)

Fazendo a substituição ficamos com:

int sen sqrt(a t) d t = int (2 u sen u)/(a) d u = (2)/(a) int u sen u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos fazer então f (u) = u e g ' (x) = sen u d u :

f^' (u) = d u e g (u) = - cos u

Vamos substituir agora:

int u sen u d u = - u cos u - int - cos u d u = - u cos u + int cos u d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

Então ficamos com:

int u sen u d u = - u cos u + int cos u d u = - u cos u + sen u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int u sen u d u = - u cos u + sen u + C = - sqrt(a t) cos sqrt(a t) + sen sqrt(a t) + C

Agora vamos voltar a expressão original:

int sen sqrt(a t) d t = (2)/(a) int u sen u d u = (2)/(a) (- sqrt(a t) cos sqrt(a t) + sen sqrt(a t)) + C

Resposta

int sen sqrt(a t) d t = (2)/(a) (- sqrt(a t) cos sqrt(a t) + sen sqrt(a t)) + C

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