Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 14

Calcule a integral.

Passo 1

Aqui temos dois possíveis casos, se e , vamos fazer o caso de primeiro:

Temos o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

Isolando na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

Assim achamos :

Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Passo 4

Juntando temos:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Passo 5

Agora vamos fazer com , a expressão fica:

Temos o Caso II, onde o denominador é um produto de fatores lineares com repetição:

Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável: