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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 19

Calcule a integral.

int_0^(pi) t sen 3 t d t

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos usar Integração por Partes:

int u d v = u v - int v d u

Vamos fazer então u = t e d v = sen 3 t d t :

d u = d t e v = - (cos 3 t)/(3)

Vamos substituir agora:

int t sen 3 t d t = - (cos 3 t)/(3) t - int - (cos 3 t)/(3) d t = - (t cos 3 t)/(3) + int (cos 3 t)/(3) d t

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos c x d x = (sen c x)/(c) + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Assim vamos ficar com:

int (cos 3 t)/(3) d t = (1)/(3) int cos 3 t d t = (1)/(3) (sen 3 x)/(3) + C = (sen 3 x)/(9) + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

int t sen 3 t d t = - (t cos 3 t)/(3) + int (cos 3 t)/(3) d t = - (t cos 3 t)/(3) + (sen 3 x)/(9) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^(pi) t sen 3 t d t = (- (t cos 3 t)/(3) + (sen 3 x)/(9))_0^(pi) = - (pi cos 3 pi)/(3) + (sen 3 pi)/(9) - (- (0 . cos 3 . 0)/(3) + (sen 3 . 0)/(9)) = (pi)/(3) + 0 - (- 0 + 0) = (pi)/(3)

Resposta

int_0^(pi) t sen 3 t d t = (pi)/(3)

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