Considere a integral
- Calcule essa integral de duas maneiras: primeiro usando integração por partes e depois usando a substituição
- Mostre que os resultados da parte (a) são equivalentes.
- Qual das duas maneiras você prefere? Discuta as razões de sua preferência.
Passo 1
- O exercício pede para calcularmos a integral fornecida de duas maneiras, a primeira é utilizando integração por partes.
- O item seguinte, pede para igualarmos os resultados obtidos nos dois cálculos:
- A técnica preferível para calcular esse tipo de equação é por substituição do tipo , pois demanda um esforço menor, tornando o cálculo mais fácil e curto.
Uma função que pode ser integrada por partes, pode ser lida da seguinte maneira:
O que são esses termos? Precisamos encontra-los para poder calcular.
Chamaremos:
Substituindo na fórmula de integração por partes, temos:
Obtivemos aqui um termo idêntico ao da integral que desejamos calcular, então vamos isolar esse termo:
Dividindo os dois lados da equação por 2, temos:
Passo 2
Agora, calcularemos a mesma integral, só que agora utilizando substituição do tipo , quando .
Se:
A integral do tipo:
Integrando, temos que:
Substituindo temos:
Passo 3
Provando que são iguais.