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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 29

1-38 Calcule a integral

29- int_1^e x^2 l n x d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = l n x

d v = x^2 d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = ln x

Derivando:

d u = (1)/(x) d x

E

d v = x^2 d x

Fazendo a integral:

int d v = int x^2 d x

v = (x^3)/(3)

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

int u d v = l n x xx (x^3)/(3) - int (x^3)/(3) xx (1)/(x) d x

int u d v = l n x xx (x^3)/(3) - (1)/(3) int x^2 d x

int u d v = l n x xx (x^3)/(3) - (x^3)/(9)

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

int_1^e u d v = ( (l n x xx (x^3)/(3) )|_1^e - ((x^3)/(9)|_1^e

int_1^e u d v = (e^3)/(3) - ((e^3)/(9) - (1)/(9)) = (2 e^3 + 1)/(9)

Resposta

(2 e^3 + 1)/(9)

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