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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 50

Calcule a integral ∫ 0 1 2 2 x . sen - 1 ⁡ x 2   d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos integração por partes.

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   sen - 1 ⁡ x 2  

Pois é o valor mais simples de derivar.    

d u   =   ( sen - 1 ⁡ x 2 ) ’ .   d x                    

Usamos a fórmula da arcsseno

d u   =   2 x . 1 1 - x 4   .   d x        

d v   =   2 x   d x  

v   =   ∫   2 x   d x

v   = x 2

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫   2 x . sen - 1 ⁡ x 2   d x   = sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 -   ∫ x 2   . 2 x . 1 1 - x 4   d x              

= sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 -   2 ∫ x 3 1 - x 4     d x              

Vamos resolver ∫ x 3 1 - x 4     d x               pelo método da substituição:

w = 1 - x 4

d w = 1 - x 4 '   d x

d w = 1 2 . 1 1 - x 4 ( - 4 x 3 )   d x

d w = - 2 x 3 1 - x 4   d x

multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que - 2 - 2 é o melhor número pois é o mesmo que multiplicar por 1:

∫ x 3 1 - x 4     d x = - 2 - 2 ∫ x 3 1 - x 4     d x                            

= 1 - 2 ∫ - 2 x 3 1 - x 4     d x              

= 1 - 2 ∫ 1     d w              

= - w 2

= - 1 - x 4 2

Colocamos o resultado encontrado no desenvolvimento do cálculo:

= sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 -   2 ∫ x 3 1 - x 4     d x              

= sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 -   2 - 1 - x 4 2

= sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 + 1 - x 4

Passo 3

Aplicar a integral definida

∫ 0 1 2 2 x . sen - 1 ⁡ x 2   d x = sen - 1 ⁡ x 2     . x 2 + 1 - x 4 0 1 2

= sen - 1 ⁡ 1 2 2     . 1 2 2 + 1 - 1 2 4 - sen - 1 ⁡ 0 2     . 0 2 + 1 - 0 4

= π   12   + 3 2 - 1

= π + 6 3 - 12 12

Resposta

∫ 0 1 2 2 x . sen - 1 ⁡ x 2   d x = = π + 6 3 - 12 12

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