Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 120
A capacidade térmica Cv é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de determinada massa de gás a um volume constante de 1 ºC, medida em cal/ºC.mol ( calorias por grau centígrado, por mol). O calor específico do oxigênio depende de sua temperatura T e
satisfaz a fórmula:
Determine o valor médio de Cv, para 20ºC T
Passo 1
Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se exitir uma função contínua em um certo intervalo , então em algum ponto existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :
Assim, temos:
Lembre-se da propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:
Passo 2
Agora devemos integrar e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:
Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.
Lembre-se também que integração polinomial é dada por:
Logo:
Passo 3
Calculando agora a temperatura em que esse Cv é atingido, temos:
Basta aplicar Bhaskara e você irá encontrar dois valores de T, sendo um deles negativo, porém como o intervalo de Cv em função de T é delimitado por ,consideramos somente o valor postivo que é de
Resposta
Valor médio =
Temperatura em que o Cv médio é encontrado :