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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 65

Use as fórmulas de redução do exercício 64 para calcular as integrais.

a ∫ t g 4 x d x                     b ∫ sec 4 ⁡ x d x                     c ∫ x 3 e x d x

Passo 1

  1. Aplicando a fórmula de redução do exercício anterior, temos:

    2. ∫ t g n x d x = t g n - 1 n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

    Quando n = 4 :

    ∫ t g 4 x d x = t g 4 - 1 4 - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

    Portanto:

    ∫ t g 4 x d x = t g 3 3 - ∫ t g 2 x d x

    Substituindo pela identidade trigonométrica t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1 :

    ∫ t g 4 x d x = t g 3 3 - ∫ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 d x

    Resolvendo:

    ∫ t g 4 x d x = t g 3 3 - t g x + x + C

    Passo 2

  2. ∫ sec 4 ⁡ x d x

Usando a fórmula de redução do exercício anterior:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

Substituindo n = 4 :

∫ sec 4 ⁡ x d x = sec 4 - 2 ⁡ x t g ( x ) 4 - 1 + 4 - 2 4 - 1 ∫ sec 4 - 2 ⁡ x d x

Simplificando:

∫ sec 4 ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x t g ( x ) 3 + 2 3 ∫ sec 2 ⁡ x d x

Resolvendo, temos:

∫ sec 4 ⁡ x d x = 1 3 sec 2 ⁡ x t g ( x ) + 2 3 t g ( x ) + C

Passo 2

(c )   ∫ x 3 e x d x

Usando a fórmula de redução, temos:

∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

Quando n = 3 :

∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 ∫ x 3 - 1 e x d x

Simplificando, temos:

∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 ∫ x 2 e x d x

Resolvendo, temos: ∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 ( x 2 e x - 2 x e x - e x )

∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 x 2 e x + 6 x e x - 6 e x + C

Resposta

(a) ∫ t g 4 x d x = t g 3 3 - t g x + x + C

(b) ∫ sec 4 ⁡ x d x = 1 3 sec 2 ⁡ x t g ( x ) + 2 3 t g ( x ) + C

(c) ∫ x 3 e x d x = x 3 e x - 3 x 2 e x + 6 x e x - 6 e x + C

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