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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 67

Seja f uma função cuja derivada segunda é contínua em [ - 1 ,   1 ] . Mostre que:

∫ - 1 1 x f ' ' x d x = f ' 1 + f ' - 1 - f 1 + f ( - 1 )

Passo 1

Vamos aplicar a regra de integração por partes do tipo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar:

u = x

d u = d x

d v = f ' ' x

v = f ' x

Aplicando a integração por partes, temos:

∫ - 1 1 x f ' ' x d x = u v - 1 1 - ∫ - 1 1 v d u

Substituindo, temos:

∫ - 1 1 x f ' ' x d x = x f ' x - 1 1 - ∫ - 1 1 f ' x d x

Resolvendo, temos:  

∫ - 1 1 x f ' ' x d x = 1 . f ' x - - 1 f - 1 - f x - 1 1

Dessa forma, ficamos com;

∫ - 1 1 x f ' ' x d x = f ' 1 + f ' - 1 - f 1 + f - 1

Comprovando o que o exercício pede.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral.int_()^() x c o s s e c x c o t g x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x 3 2 ln ⁡ x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ 2 x + 3 e x d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x ² se n ⁡ 2 x d x ²
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua primitiva ( C = 0 ) . ∫ x 3 1 + x ² d x ²