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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 61

Use a fórmula de redução (9) para calcular: ( a ) int s e n^4 (x) d x ( b ) int_0^(pi // 2) s e n^5 (x) d x

Passo 1

A fórmula de redução (9) que o exercício pede para usarmos é dada por:

int s e n^n d x = (- 1)/(n) s e n^(n - 1) (x) cos (x) + (n - 1)/(n) int s e n^(n - 2) (x) d x

Aqui, devemos substituir o valor de n nos itens (a) e (b) desse exercício.

Passo 2

  1. int s e n^4 (x) d x

    2. Se observarmos a estrutura da função dada, vamos notar que pode ser usada na fórmula (9) substituindo n = 4 :

    int s e n^4 d x = (- 1)/(4) s e n^(4 - 1) (x) cos (x) + (4 - 1)/(4) int s e n^(4 - 2) (x) d x

    Simplificando, temos:

    int s e n^4 d x = (- 1)/(4) s e n^3 (x) cos (x) + (3)/(4) int s e n^2 (x) d x

    Antes de resolver, temos que avaliar int s e n^2 (x) d x aplicando na fórmula (9) com n = 2 :

    int s e n^2 (x) d x = (- 1)/(2) s e n^(2 - 1) (x) cos (x) + (2 - 1)/(2) int s e n^(2 - 2) (x) d x

    int s e n^2 (x) d x = (- 1)/(2) s e n (x) cos (x) + (1)/(2) int d x

    int s e n^2 (x) d x = (- 1)/(2) s e n (x) cos (x) + (1)/(2) x

    Retornando a integral principal, temos:

    int s e n^4 d x = (- 1)/(4) s e n^3 (x) cos (x) + (3)/(4) [(- 1)/(2) s e n (x) cos (x) + (1)/(2) x]

    Simplificando:

    int s e n^4 d x = (- 1)/(4) s e n^3 (x) cos (x) - (3)/(8) s e n (x) cos (x) + (3)/(8) x + C

    Passo 3

  2. int_0^((pi)/(2)) s e n^5 (x) d x

Nesse caso, o processo é o mesmo. Vamos agora substituir a função dada aplicando na fórmula (9) com n = 5 :

int s e n^5 d x = (- 1)/(5) s e n^(5 - 1) (x) cos (x) + (5 - 1)/(5) int s e n^(5 - 2) (x) d x

Simplificando:

int s e n^5 d x = (- 1)/(5) s e n^4 (x) cos (x) + (4)/(5) int s e n^3 (x) d x

Antes de resolver, temos que avaliar int s e n^3 (x) d x aplicando na fórmula (9) com n = 3 :

int s e n^3 (x) d x = (- 1)/(3) s e n^(3 - 1) (x) cos (x) + (3 - 1)/(3) int s e n^(3 - 2) (x) d x

int s e n^3 (x) d x = (- 1)/(3) s e n^2 (x) cos (x) + (2)/(3) int s e n (x) d x

Retornando a integral principal, temos:

int s e n^5 d x = (- 1)/(5) s e n^4 (x) cos (x) + (4)/(5) [(- 1)/(3) s e n^2 (x) cos (x) + (2)/(3) int s e n (x) d x]

Resolvendo, temos:

int s e n^5 d x = (- 1)/(5) s e n^4 (x) cos (x) + (4)/(5) [(- 1)/(3) s e n^2 (x) cos (x) - (2)/(3) c o s ( x )]

Simplificando, temos:

int s e n^5 d x = (- 1)/(5) s e n^4 (x) cos (x) - (4)/(15) s e n^2 (x) cos (x) - (8)/(15) c o s ( x )

Aplicando nos limites de integração, temos:

int_0^((pi)/(2)) s e n^5 (x) d x = [(- 1)/(5) s e n^4 (x) cos (x) - (4)/(15) s e n^2 (x) cos (x) - (8)/(15) c o s ( x )]_0^((pi)/(2))

Resolvendo, temos:

int_0^((pi)/(2)) s e n^5 (x) d x = [(- 1)/(5) s e n^4 ((pi)/(2)) cos ((pi)/(2)) - (4)/(15) s e n^2 ((pi)/(2)) cos ((pi)/(2)) - (8)/(15) c o s ( (pi)/(2) )] - [(- 1)/(5) s e n^4 (0) cos (0) - (4)/(15) s e n^2 (0) cos (0) - (8)/(15) c o s ( 0 )]

int_0^((pi)/(2)) s e n^5 (x) d x = (8)/(15)

Resposta

(a) int s e n^4 d x = (- 1)/(4) s e n^3 (x) cos (x) - (3)/(8) s e n (x) cos (x) + (3)/(8) x + C

(b) int_0^((pi)/(2)) s e n^5 (x) d x = (8)/(15)

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