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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 46

Calcule a integral.

int (1 + sen x)/(1 - sen x) d x

Passo 1

Aqui vamos fazer uma manipulação na expressão, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do denominador:

int (1 + sen x)/(1 - sen x) d x = int (1 + sen x)/(1 - sen x) * (1 + sen x)/(1 + sen x) d x = int (1 + 2 sen x + sen^2 x)/(1 - sen^2 x) d x

Vamos usar a identidade trigonométrica:

cos^2 x + sen^2 x = 1 -> 1 - sen^2 x = cos^2 x

Assim ficamos com:

int (1 + 2 sen x + sen^2 x)/(1 - sen^2 x) d x = int (1 + 2 sen x + sen^2 x)/(cos^2 x) d x

Vamos agora separar os termos:

int (1 + 2 sen x + sen^2 x)/(cos^2 x) d x = int (1)/(cos^2 x) + (2 sen x)/(cos^2 x) + (sen^2 x)/(cos^2 x) d x = int sec^2 x + (2 sen x)/(cos x) * (1)/(cos x) + tg^2 x d x = int sec^2 x + 2 tg x sec x + tg^2 x d x = int sec^2 x + 2 tg x sec x + sec^2 x - 1 d x = int 2 sec^2 x + 2 tg x sec x - 1 d x = int 2 sec^2 x d x + int 2 tg x sec x d x + int - 1 d x

Lembrando que aqui usamos a identidade: tg^2 theta + 1 = sec^2 theta .

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando quatro expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int sec^2 x d x = tg x + C

int tg x sec x d x = sec x + C

Agora é só aplicar:

int 2 sec^2 x d x + int 2 tg x sec x d x + int - 1 d x = 2 int sec^2 x d x + 2 int tg x sec x d x - x + C = 2 tg x + 2 sec x - x + C

Passo 3

Voltando a expressão inicial temos:

int (1 + sen x)/(1 - sen x) d x = int (1 + 2 sen x + sen^2 x)/(cos^2 x) d x = int 2 sec^2 x d x + int 2 tg x sec x d x + int - 1 d x = 2 tg x + 2 sec x - x + C

Resposta

int (1 + sen x)/(1 - sen x) d x = 2 tg x + 2 sec x - x + C

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