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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 14

Calcule a integral

int (d u)/(u sqrt(5 - u^2))

Passo 1

Bora calcular mais uma integral?!

int (d u)/(u sqrt(5 - u^2))

Para resolver esse problema, vamos dizer que:

u = sqrt(5) sin (theta)

Diferenciando, temos que :

d u = sqrt(5) cos (theta) d theta

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral:

int (d u)/(u sqrt(5 - u^2)) = int (1)/(sqrt(5) sin (theta) sqrt(5 - 5 sin^2 (theta))) sqrt(5) cos (theta) d theta

= int (1)/(sqrt(5) sin (theta) sqrt(5 (1 - sin^2 (theta)))) sqrt(5) cos (theta) d theta

Passo 2

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo:

int (1)/(sqrt(5) sin (theta) sqrt(5 (1 - sin^2 (theta)))) sqrt(5) cos (theta) d theta = int (1)/(sqrt(5) sin (theta) sqrt(5 cos^2 (theta))) sqrt(5) cos (theta) d theta

= int (1)/(sqrt(5) sin (theta) sqrt(5) cos (theta)) sqrt(5) cos (theta) d theta = (1)/(sqrt(5)) int (1)/(sin (theta)) d theta

= (1)/(sqrt(5)) int csc (theta) d theta = (1)/(sqrt(5)) ln |csc (theta) - cot (theta)| + c

Lembra que dissemos que :

u = sqrt(5) sin (theta)

Então, temos que :

csc (theta) = (1)/(sin (theta)) = (sqrt(5))/(u)

Vimos que:

sqrt(5 - u^2) = sqrt(5) cos (theta)

Se dividirmos tudo pelo sin (theta) , podemos encontrar uma expressão para cot (theta) :

(sqrt(5 - u^2))/(sin (theta)) = sqrt(5) cot (theta)

(u sqrt(5 - u^2))/((u)/(sqrt(5))) = sqrt(5) cot (theta)

cot (theta) = sqrt(5 - u^2) * (sqrt(5))/(u) * (1)/(sqrt(5)) = (sqrt(5 - u^2))/(u)

Passo 3

Agora, que encontramos uma epressão para a csc (theta) e cot (theta) podemos substituir:

(1)/(sqrt(5)) ln |csc (theta) - cot (theta)| + c = (1)/(sqrt(5)) ln |(sqrt(5))/(u) - (sqrt(5 - u^2))/(u)| + c

Prontinhooo!

Resposta

int (d u)/(u sqrt(5 - u^2)) = (1)/(sqrt(5)) ln |(sqrt(5) - sqrt(5 - u^2))/(u)| + c

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d)int s e n (2 x) cos^2 (2 x) d x
g)int s e n^2 (2 x) cos^2 (3 x) d x
c)int cos (x) s e n^4 (x) d x
f)int cos^2 (2 x) s e n^2 (2 x) d x
a)int cos^2 (5 x) d x