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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 21

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x z e y   i - x z e y   j + z   k   ,

S é a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orientação para baixo.

Passo 1

Fala, galera! Tranquilo?

A questão quer a integral de superfície

∫ ∫ S   F ∙ d S

Para o campo vetorial

F x ,   y ,   z = x z e y   i - x z e y   j + z   k

E superfície onde S é a parte do plano

x + y + z = 1

no primeiro octante, com orientação para baixo.

Galera, aqui temos:

z = g x ,   y = 1 - x - y

e então podemos usar a seguinte fórmula para calcular a integral, dado que S tem orientação para baixo:

∫ ∫ S   F ∙ d S = ∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A

onde

F = P   i + Q   j + R   k

Então P , Q e R são componentes da função F .

Então, primeiro vamos achar as derivadas parciais e os termos da nossa integral. Depois vamos analisar nossa região D pra de lá tirar os limites de integração da nossa integral dupla. Depois, é só calcular a integral de dentro pra fora, como já sabemos!

Vamos lá!

Passo 2

Vamos encontrar nossas derivadas parciais:

g x ,   y = 1 - x - y

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ g ∂ x = ∂ 1 - x - y ∂ x = - 1

  • Derivando em y , tratando x como constante:

    • ∂ g ∂ y = ∂ 1 - x - y   ∂ y = - 1

    Como nossa função campo é:

    F x ,   y ,   z = x z e y   i - x z e y   j + z   k

    Suas componentes são:

    P = x z e y

    Q = - x z e y

    R = z

    Então, nossa equação fica:

    ∫ ∫ D P ∂ g ∂ x + Q ∂ g ∂ y - R d A = ∫ ∫ D x z e y - 1 - x z e y - 1 - z d A

    Simplificando, ficamos com:

    ∫ ∫ D - z d A

    Passo 3

    Bom, ainda faltam nossos limites de integração. O enunciado diz que estamos no primeiro octante, então já sabemos que x ≥ 0 e y ≥ 0

  • x : para ter nossos valores no eixo x , fazemos y = z = 0 na equação do plano:

    • x + 0 + 0 = 1

    Então:

    x = 1

    E o intervalo é:

    0 ≤ x ≤ 1

  • y : usamos z = 0 na equação do plano para acharmos o comportamento da superfície no plano x y .

x + y + 0 = 1

Isolando y :

y = 1 - x

Então os limites são:

0 ≤ y ≤ 1 - x

Temos:

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1 - x }

Devemos substituir

z = 1 - x - y

Então nossa integral fica:

∫ ∫ D - z d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 1 + x + y   d y   d x

Passo 3

Agora é só calcularmos a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 1 + x + y   d y   d x

Integram em y , tratando x como constante:

= ∫ 0 1 - y + x y + y 2 2 y = 0 y = 1 - x d x

Aplicando os limites:

= ∫ 0 1 - x 2 2 + x - 1 2 d x

Integrando em x :

= - x 3 6 + x 2 2 - x 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

= - 1 6 + 1 2 - 1 2 = - 1 6

Resposta

- 1 6

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