Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 43
Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:
Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:
Passando ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:
Passo 2
Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando certo?
Para
Derivado a equação e aplicando a regra do quociente, temos
Para :
Derivado a equação , temos:
Passo 3
Só substituir as derivadas na equação do Passo 1, sem esquecer dos limites de integração né:
Tirando o MMC:
Simplificando a raiz do denominador
Fazendo a substituição:
Multiplicamos a fração por já que pode ficar com a cara de algumas integrais que encontramos em tabelas:
Separando as integrais
Passo 4
Agora é a hora de darmos aquela coladinha na tabela pra sabermos que:
Bom, para encontrarmos a resposta da segunda parte da nossa integral precisamos lembrar que ao derivar:
Assim, podemos considerar que a integral da segunda parte tem no denominador, como não é fácil de remover podemos tentar derivar
Passo 5
Olha só, quase chegamos lá. Se deu o resultado que esperávamos negativo, significa que a . E então:
Antes de tomarmos os limites vamos substituir novamente :
Substituindo os limites de integração