Enunciado

Use a Lei de Gauss para encontrar a carga dentro de um cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) se o campo elétrico é

E → x , y , z = x i + y j + z k

Passo 1

E aiii minha turminha fera, tudo belezinha com vocês!?

Nessa questão devemos usar a lei de Gauss para encontrar a carga dentro de um cubo de vértices:

( ± 1 , ± 1 , ± 1 )

Com campo elétrico:

E → x , y , z = x i + y j + z k

Vamos pensar juntos em uma solução, beleza!

A carga dentro de uma superfície S é dada por:

Q = ϵ o ∬ E → . d S →

Onde ϵ o é a permissividade elétrica no vácuo. Mas não se preocupe com ela, vamos manter ela desse jeitinho mesmo.

Aqui podemos dividir S em seis partes, que são as seis faces do cubo. Por convenção, d S aponta para fora.

Aqui vamos ter que achar o fluxo que passa por cada face do cubo, e depois somar todos.

Vamos fazer um como exemplo, e para os demais o processo vai ser idêntico. Apenas mudando a direção do vetor norma.

O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano x = 1 . Assim,

∬ S 1 E → . d S → = ∬ E → . n → d S

Essas integrais acima são equivalentes, o que acontece, é que escrevemos o vetor d S como:

d S → = n → d S

onde n é um vetor normal à superfície S .

Portanto, n = i . Pois essa superfície aponta apenas na direção do x positivo.

∬ S 1 E → . d S → = ∬ x i + y j + z k . i d S

∬ S 1 E → . d S → = ∬ x d S

Note que para todos os pontos, x = 1 . Logo, temos:

∬ S 1 E → . d S → = ∬ d S

Essa integral acaba sendo a área da face do cubo!

Portanto, o valor é 2 × 2 = 4 unidades quadradas.

Logo, o fluxo que passa por essa região vale:

∬ S 1 E → . d S → = 4

Passo 2

Agora vamos analisar outra face.

O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano x = - 1 . Assim,

∬ S 2 E → . d S → = ∬ E → . n → d S

onde n é um vetor normal à superfície. Portanto, n = - i .

∬ S 2 E → . d S → = ∬ x i + y j + z k . ( - i ) d S

∬ S 2 E → . d S → = ∬ - x d S

Note que para todos os pontos, x = - 1 .

∬ S 2 E → . d S → = ∬ d S

Essa integral acaba sendo a área da face do cubo também!

Portanto, o valor é 2 × 2 = 4 unidades quadradas.

Logo, o fluxo que passa por essa região vale:

∬ S 2 E → . d S → = 4

Passo 3

Agora a gente faz uma pausa e vamos refletir um pouco.

A gente pode observar que ambas a superfície e E são simétricas em termos de x ,   y   e z . Portanto, o fluxo que atravessa as outras quatro faces do cubo também serão iguais a 4 unidades quadradas. Logo, o fluxo total através do cubo é:

∬ E → . d S → = 4 × 6 = 24

As seis faces vezes o fluxo que passa por uma face. Assim achamos a resposta acima.

Logo, a carga dentro da superfície é

Q = ϵ o �� E → . d S → = 24 ϵ o

Essa questão não é difícil, mas temos que fazer com calma! Assim conseguimos perceber situações de simetria como essas.

Resposta

Q = ϵ o ∬ E → . d S → = 24 ϵ o

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