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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 24

Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = - x i ^ - y j ^ + z 3 k ^

S é a parte do cone z = x 2 + y 2 que está entre os planos z = 1   e z = 3 com orientação descendente.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo joia? 😊

A questão quer o fluxo desse campo vetorial F aqui:

F → x , y , z = - x i ^ - y j ^ + z 3 k ^

Através da região S definida por parte do cone

z = x 2 + y 2

Que está entre os planos

z = 1

z = 3

Com orientação descendente.

Gente, estamos diante de uma integral de superfície. Com isso, temos parametrizações a serem feitas, principalmente que

z = g ( x , y )

E a fórmula que usaremos é essa daqui, ó:

∬ S F ⋅ d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A  

Passo 2

Gente, primeiro vamos olhar nosso campo do enunciado e descobrir quem é P ,   Q e R :

F → x , y , z = - x ⏟ P i ^ - y ⏟ Q j ^ + z 3 ⏟ R k ^

Relembrando a parte do cone

z = g x , y = x 2 + y 2

Com isso, vamos fazer as derivadas parciais de g em relação a x e y , segundo a fórmula:

∂ g ∂ x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2

∂ g ∂ y x 2 + y 2 = y x 2 + y 2

Agora, vamos montar nossa integral dupla. Substituindo na fórmula, teremos:

∬ D - - x x x 2 + y 2 - - y y x 2 + y 2 + z 3 d A

Organizando mais um pouquinho, chegaremos a

∬ D x 2 + y 2 + z 3   d A

Como z = x 2 + y 2 :

∬ D x 2 + y 2 + x 2 + y 2 3   d A

Assim,

∬ D x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2   d A

∬ D ( x 2 + y 2 + 1 ) x 2 + y 2   d A

Passo 3

Galeras, em coordenadas polares temos que

r 2 = x 2 + y 2

Então:

∬ D ( r 2 + 1 ) r 2   d A

Mas quem é nossos limites de integração em D ? Lá no enunciado é dado que S faz parte do cone entre os planos z = 1 e z = 3 .

E temos também que, em coordenadas polares, z = r . Com isso, temos um plano x y em que o cone tem uma parte circular que vai ter raio de 1 até 3 , centrados no centro.

Com isso:

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 1 3 r 2 + 1 r 2   r d r d θ

Passo 4

Galera, temos nossa integral para calcular agora. Podemos fazer duas integrais simultaneamente se dividirmos os integrandos com suas respectivas variáveis, assim:

∫ 0 2 π d θ ∫ 1 3 ( r 4 + r 2 ) d r

Integrando, chegaremos a

θ 0 2 π ⋅ r 5 5 + r 3 3 1 3

E aplicar os limites:

2 π ⋅ 3 5 5 + 3 3 3 - 1 5 + 1 3 = 1712 π 15

Show de bolinha! 😉

Resposta

1712 π 15

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