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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 28

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = x y   i + 4 x 2   j + y z   k

S é a superfície z = x e y   ,     0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1   , com orientação para cima.

Passo 1

Galerinha, tudo show?

Precisamos calcular a integral de superfície para o campo vetorial

F x ,   y ,   z = x y   i + 4 x 2   j + y z   k

Numa superfície S definida, com orientação para cima, por

z = x e y   ,     0 ≤ x ≤ 1   ,     0 ≤ y ≤ 1

Podemos calcular pela seguinte fórmula:

∫ ∫ S   F ⋅ d S = ∫ ∫ D - P ∂ z ∂ x - Q ∂ z ∂ y + R d A

Passo 2

Vamos analizar quem é cada termo dessa integral?

Aqui temos, dado pelo enunciado,

z = x e y

Na fórmula do passo anterior, precisamos fazer as derivadas parciais de z em relação a x e a y . Com isso, faremos:

∂ z ∂ x x e y → e y

∂ z ∂ y x e y → x e y

Temos que nos atentar também com o campo vetorial. Quem seria o P ,   Q   e R ?

F = P   i + Q   j + R   k

F = x y ⏟ P   i + 4 x 2 ⏟ Q   j + y z ⏟ R   k

Jogando tudo na fórmula, teremos:

∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

∫ ∫ D - x y e y - 4 x 2 x e y + y z d A

Organizando, teremos

∫ ∫ D - x y e y - 4 x 3 e y + y z d A

Passo 3

Além disso, teremos os limites de integração que foram dados no enunciado:

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 }

Colocando tudo dentro da integral, inclusive substituir z = x e y :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y e y - 4 x 3 e y + x y e y   d y   d x

Organizando mais um pouco:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - 4 x 3 e y   d y   d x

Podemos dividir essa integral em duas:

∫ 0 1 - 4 x 3 d x ∫ 0 1 e y   d y

Agora resolvendo as integrais e substituindo pelos limites de integração, chegaremos a

- x 3 0 1 e y 0 1

- 1 e - 1 = 1 - e

Show de bola! 😊

Resposta

1 - e

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