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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 48

Ache os valores de máximo e mínimo da função f sujeita às restrições dadas. Utilize um sistema de computação algébrica para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu SCA achar somente uma solução, você pode precisar do uso de comandos adicionais.)

f x , y , z = x + y + z

x 2 - y 2 = z 2

x 2 + z 2 = 4

Passo 1

Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y , z = x + y + z

Queremos determinar os valores extremos dessa função que está sujeita às seguintes restrições:

x 2 - y 2 = z 2

x 2 + z 2 = 4

Para ficar melhor de explicar, vamos “transformar” essas equações em funções para ficar melhor de entender e calcular (só passamos todo mundo para um lado da igualdade):

g x , y , z = x 2 - y 2 - z 2

h x , y , z = x 2 + z 2 - 4

Para determinar esses valores extremos, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos às restrições g x , y , z = k e h x , y , z = c (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 e ∇ h ≠ 0 sobre as superfícies g x , y , z = k e h x , y , z = c , respectivamente), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z + μ ⋅ ∇ h x , y , z

Esses λ e μ são os nossos multiplicadores de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ), depois os de g (ou seja, ∇ g ) e, por fim, os de h (ou seja, ∇ h ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ e μ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando nas nossas restrições g e h encontraremos os valores que desejamos!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = x + y + z

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando com relação a x , obtemos:

f x = ∂ ∂ x   x + y + z ∴

f x = 1

Derivando em relação a y de forma análoga:

f y = ∂ ∂ y   x + y + z ∴

f y = 1

E, para z :

f z = ∂ ∂ z   x + y + z ∴

f z = 1

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = 1,1 , 1

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x 2 - y 2 - z 2

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 - y 2 - z 2 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 - y 2 - z 2 ∴

g y = - 2 y

E, para z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 - y 2 - z 2 ∴

g z = - 2 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x , -   2 y ,   - 2 z

Passo 4

Agora vamos para a função h :

h x , y , z = x 2 + z 2 - 4

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

h x = ∂ ∂ x   x 2 + z 2 - 4 ∴

h x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

h y = ∂ ∂ y   x 2 + z 2 - 4 ∴

h y = 0

E, para z :

h z = ∂ ∂ z   x 2 + z 2 - 4 ∴

h z = 2 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ h = 2 x ,   0 ,   2 z

Passo 5

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z + μ ⋅ ∇ h x , y , z

1,1 , 1 = λ ⋅ 2 x , -   2 y ,   - 2 z + μ ⋅ 2 x ,   0 ,   2 z

Daí, vamos tirar que:

1 = λ ⋅ 2 x + μ ⋅ 2 x 1 = λ ⋅ - 2 y + μ ⋅ 0 1 = λ ⋅ - 2 z + μ ⋅ 2 z

Lembrando que nossas restrições são:

x 2 - y 2 = z 2

E

x 2 + z 2 = 4

Assim, temos um sistema com 5 equações:

1 = λ ⋅ 2 x + μ ⋅ 2 x 1 = λ ⋅ - 2 y + μ ⋅ 0 1 = λ ⋅ - 2 z + μ ⋅ 2 z x 2 - y 2 = z 2 x 2 + z 2 = 4

Utilizando uma ferramenta matemática, conforme o enunciado solicita, podemos resolver esse sistema!! 😉

Passo 6

Bom... resolvendo o sistema, encontramos 4 resultados:

1)

x ≈ - 1 , 652878

y ≈ - 1 , 964194

z ≈ - 1 , 126052

λ ≈ 0 , 254557

μ ≈ - 0 , 557060

2)

x �� - 1 , 502800

y ≈ 0 , 968872

z ≈ 1 , 319694

λ ≈ - 0 , 516064

μ ≈ 0 , 183352

3)

x ≈ - 0 , 992513

y ≈ 1 , 649677

z ≈ - 1 , 736352

λ ≈ - 0 , 303090

μ ≈ - 0 , 200682

4)

x ≈ 1 , 895178

y ≈ 1 , 718347

z ≈ 0 , 638984

λ ≈ - 0 , 290977

μ ≈ 0 , 554805

Agora vamos aplicar esses valores de x , y e z em f !!!

Passo 7

Temos que nossa função f é dada por:

f x , y , z = x + y + z

Aplicando o primeiro valor, obtemos:

f - 1 , 652878 ;   - 1 , 964194 ;   - 1 , 126052 = - 1 , 652878 - 1 , 964194 - 1 , 126052 ∴

f - 1 , 652878 ;   - 1 , 964194 ;   - 1 , 126052 = - 4,7431

Substituindo pelo segundo valor, temos:

f - 1 , 502800 ;   0 , 968872 ;   1 , 319694 = - 1 , 502800 + 0 , 968872 + 1 , 319694 ∴

f - 1 , 502800 ;   0 , 968872 ;   1 , 319694 = 0,7858

Aplicando o terceiro valor:

f - 0 , 992513 ;   1 , 649677 ;   - 1 , 736352 = - 0 , 992513 + 1 , 649677 - 1 , 736352 ∴

f - 0 , 992513 ;   1 , 649677 ;   - 1 , 736352 = - 1,0792

E, substituindo pelo quarto valor:

f 1 , 895178 ;   1 , 718347 ;   0 , 638984 = 1 , 895178 + 1 , 718347 + 0 , 638984 ∴

f 1 , 895178 ;   1 , 718347 ;   0 , 638984 = 4,2525

Comparando os resultados, podemos concluir que o máximo se encontra em:

f 1 , 895178 ;   1 , 718347 ;   0 , 638984 = 4,2525

E o mínimo se encontra em:

f - 1 , 652878 ;   - 1 , 964194 ;   - 1 , 126052 = - 4,7431

😉

Resposta

Mínimo é:

f - 1 , 652878 ;   - 1 , 964194 ;   - 1 , 126052 = - 4,7431

E o máximo é:

f 1 , 895178 ;   1 , 718347 ;   0 , 638984 = 4,2525

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