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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.7 - Ex. 20

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S   F ∙ d S para o campo vetorial F e superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para fora).

F x ,   y ,   z = y   i + x   j + z 2   k

S é o helicoide do Exercício 10 com orientação para cima.

Passo 1

Fala, galera! Tranquilo?

A questão quer o valor da integral de superfície:

∫ ∫ S   F ∙ d S

Para o campo:

F x ,   y ,   z = y   i + x   j + z 2   k

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k  

    0 ≤ u ≤ 1  

0 ≤ v ≤ π

O cálculo da integral de superfície é dado pela equação:

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:

F r u , v ⋅ r u × r v

Onde F é nosso campo dado no enunciado e r u e r v são as derivadas parciais do vetor r , composto pela parametrização da nossa superfície:

r u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Como o enunciado já nos dá a parametrização r u ,   v , achamos as derivadas parciais desse vetor. Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!

Passo 2

Nossa parametrização é:

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k  

Calculando as derivadas:

  • r u :

    • r u = ∂ u cos ⁡ v ∂ u ,   ∂ u   s e n   v ∂ u ,   ∂ v ∂ u

    Derivando em relação u , tratando v como constante:

    r u = cos ⁡ v ,   s e n   v ,   0

  • r v :

r v = ∂ u cos ⁡ v ∂ v ,   ∂ u   s e n   v ∂ v ,   ∂ v ∂ v

Derivando em relação v , tratando u como constante:

r v = - u   s e n   v   , u cos ⁡ v ,   1

Agora fazemos o produto vetorial:

r u × r v = cos ⁡ v   i + s e n   v   j + 0   k × - u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + k

r u × r v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v   s e n   v 0 - u   s e n   v u cos ⁡ v 1

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r u × r v = s e n   v   i - cos ⁡ v j + u   k = s e n   v , - cos ⁡ v ,   u

Agora falta acharmos o valor de:

F r u ,   v

que é nossa função do campo parametrizada:

F x ,   y ,   z = y   i + x   j + z 2   k

Substituindo pelas componentes de:

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k  

Ficamos com:

F r u ,   v = u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + v 2   k = u   s e n   v , u cos ⁡ v , v 2

Passo 3

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

No nosso caso, teremos

∫ ∫ D F ∙ r u × r v d A = ∫ 0 π ∫ 0 1 ( u   s e n   v ,   u cos ⁡ v ,   v 2 ) ∙ s e n   v , - cos ⁡ v ,   u     d u   d v

Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:

∫ 0 π ∫ 0 1 u   s e n 2   v - u cos 2 ⁡ v + u v 2 d u   d v

Agora podemos resolver nossa integral. Separando num produto de integrais:

∫ 0 π - cos ⁡ 2 v + v 2 d v ∫ 0 1 u d u

Resolvendo as duas integrais:

= - s e n 2 v 2 + v 3 3 0 π u 2 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

= π 3 3 1 2 = π 3 6

Então:

∫ ∫ S   F ∙ d S = π 3 6

Resposta

∫ ∫ S   F ∙ d S = π 3 6

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