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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 26

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S ��� para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x i ^ + y j ^ + 5 k ^ ,

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilos?

A questão quer o valor da integral de superfície:

∫ ∫ S   F ∙ d S

Para o campo:

F → x , y , z = x i ^ + y j ^ + 5 k ^

Onde S é   S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro

x 2 + z 2 = 1

e pelos planos y = 0 e x + y = 2

O cálculo da integral de superfície é dado pela equação:

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:

F r u , v ⋅ r u × r v

Onde F é nosso campo dado no enunciado e r u e r v são as derivadas parciais do vetor r , composto pela parametrização da nossa superfície:

r u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Então vamos começar parametrizando nossa superfície S , para conseguirmos nosso vetor r . Depois, achamos as derivadas parciais r u e r v desse vetor. Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!

Vamos lá!

Passo 2

O exercício pede para calcularmos o fluxo de F → sobre a superfície S . O primeiro passo é parametrizar a superfície. Como temos um cilindro de equação:

x 2 + z 2 = 1

Podemos ver que esse é um cilindro de raio 1 . Para parametrizar um cilindro usamos equações parecidas com as de coordenadas cilíndricas. Como aqui nosso cilindro está em função de x e z , temos:

y = y

x = r  cos ⁡ t

  z = r   s e n   t

Como nosso raio é r = 1 , ficamos com:

x = cos ⁡ t

  z = s e n   t

0 ≤ t ≤ 2 π

Note que y está limitado entre 0 e 2 - x , que são os planos que o próprio enunciado traz:

0 ≤ y ≤ 2 - cos ⁡ t

Então nosso vetor é:

r t , y = ( cos ⁡ t , y , s e n   t )

Passo 3

Agora temos que calcular os vetores r → t e r → y . Calculando as derivadas parciais de:

r t , y = ( cos ⁡ t , y , s e n   t )

  • Derivada em relação a t , tratando y como constante:

    • r → t = ∂ cos ⁡ t ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ s e n   t ∂ t = - s e n   t , 0 , cos ⁡ t

  • Derivada em relação a y , tratando t como constante:

r → y = ∂ cos ⁡ t ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ s e n   t ∂ y = ( 0 ,   1 ,   0 )

Agora fazemos o produto vetorial de r → t por r → y :

r → t × r → y = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 0 cos ⁡ t 0 1 0

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r → t × r → y = - cos ⁡ t   i ^ - s e n   t   k ^ = ( - cos ⁡ t ,   0 ,   - s e n   t )

Note que nesse caso r → t × r → y aponta para dentro do cilindro. Como nossa convenção determina que ele deve apontar para fora, vamos inverter o sinal de   r → t × r → y :

r → t × r → y = ( cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t )

Agora falta acharmos o valor de:

F r t , y

que é nossa função do campo:

F → x , y , z = x i ^ + y j ^ + 5 k ^

Substituindo pelas componentes de:

r t , y = ( cos ⁡ t , y , s e n   t )

Ficamos com:

F r t , y = cos ⁡ t i ^ + y j ^ + 5 k ^ = cos ⁡ t ,   y , 5

Passo 4

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r t , y ⋅ r t × r y d A

No nosso caso, teremos:

∬ S F r t , y ⋅ r t × r y d A = ∬ S cos ⁡ t ,   y ,   5 ⋅ cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t d A

Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:

F r t , y ⋅ r t × r y = cos ⁡ t ,   y ,   5 ⋅ cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t   = cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t  

Portanto, substituímos os limites de t e de y que estabelecemos no passo 2, ficamos com:

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t   d y   d t

Note que colocamos para dentro a integral de y pois ela tem limites de integração em função de t , então precisa necessariamente ser calculada primeiro.

Fazendo primeiro a integral em y :

I = ∫ 0 2 π 2 - cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t   d t

Logo,

I = ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ t + 10   s e n   t - cos 3 ⁡ t - 5   s e n   t cos ⁡ t   d t

Como a integral é feita sobre um período, só o primeiro termo sobrevive: os demais resultarão em integrais nulas! Assim,

I = 2   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   d t

Substituindo a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Substituindo na integral, ficamos com:

∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t   d t = t + 1 2 s e n   2 t 0 2 π = 2 π

Resposta

∫ ∫ S F → ⋅ d S → = 2 π

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