Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 26
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada .
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Fala, pessoal! Tranquilos?
A questão quer o valor da integral de superfície:
Para o campo:
Onde é é a fronteira da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos e
O cálculo da integral de superfície é dado pela equação:
Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:
Onde é nosso campo dado no enunciado e e são as derivadas parciais do vetor , composto pela parametrização da nossa superfície:
E:
Então vamos começar parametrizando nossa superfície , para conseguirmos nosso vetor . Depois, achamos as derivadas parciais e desse vetor. Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!
Vamos lá!
Passo 2
O exercício pede para calcularmos o fluxo de sobre a superfície . O primeiro passo é parametrizar a superfície. Como temos um cilindro de equação:
Podemos ver que esse é um cilindro de raio . Para parametrizar um cilindro usamos equações parecidas com as de coordenadas cilíndricas. Como aqui nosso cilindro está em função de e , temos:
Como nosso raio é , ficamos com:
Note que está limitado entre e , que são os planos que o próprio enunciado traz:
Então nosso vetor é:
Passo 3
Agora temos que calcular os vetores e . Calculando as derivadas parciais de:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
- Derivada em relação a , tratando como constante:
Agora fazemos o produto vetorial de por :
Para cada componente e , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:
Note que nesse caso aponta para dentro do cilindro. Como nossa convenção determina que ele deve apontar para fora, vamos inverter o sinal de :
Agora falta acharmos o valor de:
que é nossa função do campo:
Substituindo pelas componentes de:
Ficamos com:
Passo 4
No nosso caso, teremos:
Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:
Portanto, substituímos os limites de e de que estabelecemos no passo 2, ficamos com:
Note que colocamos para dentro a integral de pois ela tem limites de integração em função de , então precisa necessariamente ser calculada primeiro.
Fazendo primeiro a integral em :
Logo,
Como a integral é feita sobre um período, só o primeiro termo sobrevive: os demais resultarão em integrais nulas! Assim,
Substituindo a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral, ficamos com: