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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 6

Calcule a integral de superfície.

∬ x y z d S ,

  S é o cone com equações paramétricas x = u cos ⁡   v , y = u s e n v , z = u , 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ π 2 .

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∬ x y z d S  

S é o cone com equações paramétricas

x = u cos ⁡   v

y = u s e n v

z = u

Com:

0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π 2

Podemos usar a equação para achar o valor da integral de superfície:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r u , v | r → u × r → v | d A

Então, não vamos precisar achar uma parametrização para x , y e z pois o enunciado já nos deu. Vamos precisar aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = x y z

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → u e r → v e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r → v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Passo 2

Vamos achar nossos vetores r → u e r → v . Do enunciado nós temos

r u , v = u c o s v i ⃑ + u s e n v j ⃑ + u k ⃑

Então nossos parâmetros são:

x = u cos ⁡   v

y = u s e n v

z = u

  • r → v : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ u c o s v ∂ v i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ v j ⃑ + ∂ u ∂ v k ⃑

    Derivando cada uma dessas funções em relação a v , tratando u como constante:

    r v = ∂ u c o s v ∂ v i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ v j ⃑ + ∂ u ∂ v k ⃑

    Ficamos com:

    r v = - u   s e n v i ⃑ + u   c o s v j ⃑

  • r → u : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

r u = ∂ u c o s v ∂ u i ⃑ + ∂ u s e n v ∂ u j ⃑ + ∂ u ∂ u k ⃑

Derivando cada uma dessas funções em relação a u , tratando v como constante:

r u = cos ⁡ v i ⃑ + s e n v j ⃑ + k

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:

r → u × r → v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n v 1 - u   s e n v u   c o s v 0

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r u × r v = - u . cos ⁡ v i ⃑ - u s e n v k ⃑ + u k ⃑

Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

r u × r v = u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 s e n 2 v + u 2 = 2 u

Passo 4

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x y z d S

Vamos reescrever nossa função parametrizada:

f x , y , z = x y z

substituindo as equações paramétricas:

f r u , v = u c o s v ⋅ u s e n v ⋅ u

Ficamos com:

∬ ( u c o s v ( u s e n v ) u r u × r v d S

Agora substituímos o módulo do nosso produto vetorial:

2 ∬ u 4 s e n v   c o s ⁡ ( v ) d u d v

Como as variáveis de integração são independentes entre si podemos separá-las

= 2 ∫ 0 1 u 4 d u ∫ 0   π 2 s e n v   c o s v   d v  

Realizando cada integral:

= 2 1 5 u 5 0 1 1 2 s e n 2 v 0 π 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 1 5 1 2 = 1 10 2

Então:

∬ x y z d S = 1 10 2

Resposta

∬ x y z d S = 1 10 2

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