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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 2

int_0^1 int_(2 x)^2 (x - y) d y d x

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Como já nos foi dado a integral, não é necessário compreender qual o tipo de região.

Entretanto, por motivos didáticos, não custa fazer esta etapa, né! Então, como precisamos integrar em relação a y (basta olhar que o d y vem primeiro), e ele varia em torno de uma f (x) e uma g (x) , então, temos uma região do tipo 1!

Precisamos então integrar primeiramente em relação a y e substituir os limites de integração conforme o Teorema Fundamental do Cálculo,

Por fim, obteremos uma função de x , e aí basta integrá-la e substituir os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a y . Portanto,

int_0^1 int_(2 x)^2 (x - y) d y d x

int_0^1 (x y - (y^2)/(2))_(2 x)^2 d x

int_0^1 ([2 x - (4)/(2)] - [2 x^2 - (4 x^2)/(2)]) d x

int_0^1 (2 x - 2) d x

Passo 3

Agora que chegamos a uma função de x apenas, podemos integrá-lo e utilizar o TFC para obter o valor da nossa integral dupla! Portanto, temos:

int_0^1 (2 x - 2) d x = (x^2 - 2 x)_0^1

int_0^1 (2 x - 2) d x = 1 - 2 = - 1

Resposta

int_0^1 (2 x - 2) d x = - 1

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