Calcule a integral

∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 4 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Então, substituindo

∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 4 ⁡ ( x ) sec 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 2 sec 2 ⁡ ( x ) d x

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan ⁡ x , então d u = sec 2 ⁡ x d x .Vamos também mudar os limites de integração para depois não precisarmos voltar com a variável x , para isso, basta fazermos

tan ⁡ 0 = 0

t a n ⁡ ( π / 3 ) = 3

∫ 0 3 tan 5 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 2 sec 2 ⁡ x d x = ∫ 0 3 u 5 u 2 + 1 2 d u = ∫ 0 3 u 5 u 4 + 2 u 2 + 1 d u = ∫ 0 3 u 9 + 2 u 7 + u 5 d u = 1 10 u 10 + 2 8 u 8 + 1 6 u 6 0 3 = 243 10 + 81 4 + 27 6 = 981 20

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x = 981 20

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