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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 30

Calcule a integral

int_0^((pi)/(3)) tan^5 ( x ) sec^6 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

int_0^((pi)/(3)) tan^5 ( x ) sec^6 ( x ) d x = int_0^((pi)/(3)) tan^5 ( x ) sec^4 ( x ) sec^2 ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Então, substituindo

int_0^((pi)/(3)) tan^5 ( x ) sec^4 ( x ) sec^2 ( x ) d x = int_0^((pi)/(3)) tan^5 (x) (tan^2 (x) + 1)^2 sec^2 ( x ) d x

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan (x) , então d u = sec^2 (x) d x .Vamos também mudar os limites de integração para depois não precisarmos voltar com a variável x , para isso, basta fazermos

tan (0) = 0

t a n ( pi // 3 ) = sqrt(3)

int_0^(sqrt(3)) tan^5 (x) (tan^2 (x) + 1)^2 sec^2 (x) d x = int_0^(sqrt(3)) u^5 (u^2 + 1)^2 d u = int_0^(sqrt(3)) u^5 (u^4 + 2 u^2 + 1) d u = int_0^(sqrt(3)) (u^9 + 2 u^7 + u^5) d u = [(1)/(10) u^(10) + (2)/(8) u^8 + (1)/(6) u^6]_0^(sqrt(3)) = (243)/(10) + (81)/(4) + (27)/(6) = (981)/(20)

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int_0^((pi)/(3)) tan^5 ( x ) sec^6 ( x ) d x = (981)/(20)

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