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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 33

Calcule a integral

∫ 1 4 5 x . d x

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão queremos calcular a seguinte integral:

∫ 1 4 5 x . d x

Temos pelo teorema fundamental do cálculo que:

∫ a b f x d x = F x b a

= F b - F a

Sendo F a antiderivada de f :

F ' x = f x

Dessa forma, devemos encontrar qual função que quando derivada resulta em f x = 5 x

Para isso vamos usar a regra de antiderivada de uma potência de x :

x n = x n + 1 n + 1 '

E também vamos usar a propriedade de integrais que diz que a constante pode sair da integral:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Passo 2

Bom, vamos ter que resolver esta integral, mas antes vamos reorganizar os termos, ok?

∫ 1 4 5 x . d x = ∫ 1 4 5 x 1 2 . d x

= ∫ 1 4 5 . x - 1 2 d x

As constantes podem sair da integral:

= 5 ∫ 1 4 x - 1 2 . d x

Usando a antiderivação da potência de x teremos:

x - 1 2 = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 '

x - 1 2 = x 1 2 1 2 '

Logo,

x - 1 2 = 2 x '

Passo 3

Dessa forma, teremos:

5 ∫ 1 4 x - 1 2 . d x = 5 2 x 4 1

Ou seja,

= 5 ⋅ 2   4 - 1

= 5 ⋅ 2   2 - 1

= 2 5

Então

∫ 1 4 5 x . d x = 2 5

Resposta

∫ 1 4 5 x . d x = 2 5

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int_1^2 ((1)/(x^6)) d x
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Mostrar que:int_(- pi)^(pi) c o s 2 x c o s 3 x d x = 0
int_(- 2)^0 (v^2)/((v^3 - 2)^2) d v