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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 41

Nos exercícios de 40 a 42, prove a fórmula indicada do Teorema 8.3.2, fazendo uma variação adequada da variável e então usando o Teorema 8.3.1.

41) Fórmula (5)

Passo 1

Primeiro, precisamos lembrar que a Fórmula 5, fornecida pelo Teorema 8.3.2, é

∫ d u a ² + u ² = 1 a tg - 1 ⁡ u a + C ,       o n d e   a ≠ 0

Como enunciado, precisamos fazer uma variação de forma que possamos usar o Teorema 8.3.1. Então:

u = a x

Derivando:

d u = a . d x

Substituindo:

∫ d u a ² + u ² = ∫ a . d x a ² + a ² x ² = ∫ a . d x a ² ( 1 + x ² ) = 1 a ∫ d x ( 1 + x ² )

Pelo Teorema 8.3.1:

∫ d x 1 + x ² = t g - 1 x + C

Substituindo x:

1 a t g - 1 x   + C = 1 a t g - 1 u a   + C

Provando que

∫ d u a ² + u ² = 1 a tg - 1 ⁡ u a + C ,       o n d e   a ≠ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as integrais.
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Calcule a integral int (1 + s e n x)/(1 - s e n x) d x .