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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 39

Calcule a integral

int cot^3 (alpha) csc^3 (alpha) d alpha

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot^2 ( alpha ) + 1 = csc^2 ( alpha ) .

Então, substituindo

int cot^3 (alpha) csc^3 (alpha) d alpha = int cot^2 (alpha) csc^2 (alpha) c o t (alpha) c s c (alpha) d alpha = int (csc^2 (alpha) - 1) csc^2 (alpha) c o t ( alpha ) c s c ( alpha ) d alpha

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc (alpha) , temos que d u = - csc (alpha) cot (alpha) d alpha , então, substituindo

int (csc^2 (alpha) - 1) csc^2 (alpha) c o t (alpha) c s c (alpha) d alpha = int (u^2 - 1) u^2 (- d u) = - int (u^4 - u^2) d u = - (1)/(5) u^5 + (1)/(3) u^3 + c = - (1)/(5) csc^5 (alpha) + (1)/(3) csc^3 (alpha) + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int cot^3 (alpha) csc^3 (alpha) d alpha = (1)/(3) csc^3 (alpha) - (1)/(5) csc^5 (alpha) + c

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