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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 74

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 1 e   d x x   1 + ln ⁡ x 2

Passo 1

  1. Vamos primeiro fazer uma substituição. A gente vai colocar u = ln ⁡ x   e aí a gente fica com d u = 1 x . Vamos colocar isso numa integral indefinida pra não ter que mudar os limites de integração:

    2. ∫   d x x   1 + ln ⁡ x 2 =   ∫ d u 1 + u 2

    Integrando em u , ficamos com:

    ∫ d u 1 + u 2 = s e n h - 1 u + C

    Voltamos para x e aplicamos os intervalos...

    s e n h - 1 u + C = s e n h - 1 ln ⁡ x | e 1

    s e n h - 1 1 - s e n h - 1 0 = s e n h - 1 ( 1 )

    Passo 2

  2. Agora, tendo o valor de x = 1 , podemos verificar a resposta em termos de logaritmos naturais usando a fórmula do s e n h - 1 x encontrada na tabela da pág 430...

s e n h - 1 1 = ln ⁡ ( 1 + 1 2 + 1 ) = ln ⁡ 1 + 2

Prontinho!

Resposta

  1. s e n h - 1 ( 1 )
  2. ln ⁡ 1 + 2
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