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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 77

Se um corpo de massa m cai do repouso sob ação da gravidade e encontra resistência ao ar proporcional ao quadrado da velocidade, então a velocidade do corpo t segundos após o início da queda satisfaz a equação diferencial

m d v d t = m g - k v 2

onde k é uma constante que depende das propriedades aerodinâmicas do corpo e da densidade do ar. (Supomos que a queda seja curta o suficiente para que as variações na densidade do ar não afetem o resultado final de forma significativa.)

  1. Demonstre que

    2. v = m g k   t g h   g k m t

    satisfaz a equação diferencial e a condição inicial de que v = 0 quando t = 0 .

  2. Determine a velocidade terminal do corpo, lim t → ∞ ⁡ v .
  3. Para um paraquedista que pesa 160 libras (mg = 160), com o tempo medido em segundos e a distância em pés, um valor típico para k é 0,005. Qual é a velocidade terminal do paraquedista?

Passo 1

  1. Vamos calcular a derivada de v em t , ou seja, d v d t . Nesse caso, consideramos somente a variável t e as outras letras como constantes:

    2. d v d t = m g k sec 2 ⁡ g k m t   g k m

    d v d t = m g 2 k k m sec 2 ⁡ g k m t  

    d v d t = g sec 2 ⁡ g k m t  

    Agora a gente substitui na equação diferencial e vê se confere...

    m d v d t = m g - k v 2 = m g sec 2 ⁡ g k m t   = m g   1 - tanh 2 ⁡ g k m t = m g - k v 2

    E veja que se t = 0 teremos tanh ⁡ x = tanh ⁡ 0 = 0 , e assim v = 0 também.

    Passo 2

  2. lim t → ∞ ⁡ v = l i m t → ∞ m g k   t g h   g k m t = m g k   l i m ⁡ t → ∞ t g h   g k m t =   m g k   1 =   m g k

    3. (pois lim t → ∞ ⁡ k   t = 1 )

    Passo 3

  3. Usando a fórmula da velocidade terminal encontrada no item anterior, basta substituirmos os valores dados...

v =   m g k = 160 0,005 = 32000 = 178,885   p / s

Resposta

  1. Demonstração.
  2. m g k
  3. 178,885   p / s
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