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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 72

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 1 2   d x x 4 + x 2

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma - 1 | u | a 2 + u 2 é a derivada da função de cossec h - 1 ⁡ u , então... ∫ 1 2   d x x 4 + x 2 = - ∫ 1 2   d x x 2 2 + x 2 =   - 1 2 c o s s e c - 1 x 2 2 1

    2. (a gente divide pelo a quando é diferente de 1)

    Aplicando os limites de integração, temos:

      - 1 2 c o s s e c - 1 x 2 2 1 =   - 1 2 c o s s e c - 1 1 + 1 2 c o s s e c - 1 1 2

    Passo 2

  2. Agora, tendo o valor de x = 1   e x = 1 2 , para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

c o s s e c - 1 1 = ln ( ⁡ 1 1 + 1 + 1 2 1 ) = ln ⁡ 1 + 2 = 2

c o s s e c - 1 1 2 = ln ⁡     ⁡ 1 1 2 +   1 + 1 2 2 1 2 =

ln ⁡ 2 + 2 5 4 = ln ⁡ ( 2 + 2 5 2 ) = ln ⁡ 2 + 5

- 1 2 c o s s e c - 1 1 + 1 2 c o s s e c - 1 1 2 =

1 2 - 2 + ln ⁡ 2 + 5

Resposta

  1. - 1 2 c o s s e c - 1 1 + 1 2 c o s s e c - 1 1 2
  2. 1 2 - 2 + ln ⁡ 2 + 5
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