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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 68

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 0 1 3 6   d x 1 + 9 x 2

Passo 1

  1. Sabemos que a função da forma 1 1 + u 2 é a derivada da função de s e n h - 1 u , vamos reescrever assim: ∫ 0 1 3 6   d x 1 + 9 x 2 =   ∫ 0 1 3 6   d x 1 + 3 x 2

    2. Agora a gente faz u = 3 x → d u = 3   d x e resolvemos a integral indefinida:

    2 ∫ d u 1 + u 2 = 2   s e n h - 1 u + C

    Voltamos para x e aplicamos os limites de integração:

    2   s e n h - 1 u + C = 2   s e n h - 1 3 x ] 1 3 0  

    Resolvendo...

    2   s e n h - 1 3 x ] 1 3 0 = 2   s e n h - 1 3 1 3 - s e n h - 1 3 0 =   2   s e n h - 1 ( 1 )

    Passo 2

  2. Agora, tendo o valor de x = 1 para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

2 s e n h - 1 1 = 2 ln ⁡ 1 + 1 2 + 1   = 2   ln ⁡ 1 + 2

Resposta

  1. 2   s e n h - 1 1
  2. 2  ln ⁡ 1 + 2
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