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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 54

No Exercício y = int_(2^x)^1 root(3)(t) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

y = int_(2^x)^1 root(3)(t) d t

y = - int_1^(2^x) root(3)(t) d t

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos derivando dos dois lados:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (- int_1^(2^x) root(3)(t) d t)

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_1^(2^x) root(3)(t) d t

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar o Teorema fundamental do Cálculo:

(d y)/(d x) = - (d)/(d x) int_1^(2^x) root(3)(t) d t

= - root(3)(2^x) . ( 2^x ) '

Usando a fórmula:

(d)/(d x) (a^x) = ln (a) . a^x

Substituimos no valor original:

= - root(3)(2^x) . ln (2) . 2^x

Resposta

(d y)/(d x) = - root(3)(2^x) . ln (2) . 2^x

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