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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 61

Ache a soma:

sum_(i = 1)^(100) 2 i ( i^3 - 1 )

Passo 1

Os somatórios de potências de i , com i indo de 1 a n , são calculados pelas fórmulas:

sum_(i = 1)^n i = (n (n + 1))/(2)

sum_(i = 1)^n i^2 = (n (n + 1) (2 n + 1))/(6)

sum_(i = 1)^n i^3 = (n^2 (n + 1)^2)/(4)

sum_(i = 1)^n i^4 = (n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 1))/(30)

Devemos então desenvolver o somatório para colocar em função desses valores e então substituir.

Passo 2

Temos então:

sum_(i = 1)^n 2 i ( i^3 - 1 ) = sum_(i = 1)^n ( 2 i^4 - 2 i ) = sum_(i = 1)^n 2 i^4 + sum_(i = 1)^n ( - 2 i ) = 2 sum_(i = 1)^n i^4 - 2 sum_(i = 1)^n i

Passo 3

Substituindo pelos valores da fórmula, temos então:

sum_(i = 1)^n 2 i ( i^3 - 1 ) = (2 n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 1))/(30) - (2 n (n + 1))/(2)

= (n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 1))/(15) - (15 n (n + 1))/(15)

= (n (n + 1))/(15) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 1) + (n (n + 1))/(15) ( - 15 )

= (n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 16))/(15)

Para n = 100 :

(n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 16))/(15) = (100 * 101 * (6 * 100^3 + 9 * 100^2 + 100 - 16))/(15)

= (100 * 101 * 6090084)/(15) = 4100656560

Resposta

sum_(i = 1)^(100) 2 i ( i^3 - 1 ) = 4100656560

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