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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 69

Calcule as integrais nos Exercícios 69 e 70.

int ((2 r - 1) cos sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6))/(sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6)) d r

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição de variável para ver se facilita essa equação feia aí:

u = 3 (2 r - 1)^2 + 6

Derivando dos dois lados:

d u = (3 * 2 (2 r - 1) (2 r - 1)^' + 0) d r

d u = 6 (2 r - 1) 2 d r

d u = 12 (2 r - 1) d r

(d u)/(12) = (2 r - 1) d r

Substituindo na integral:

int ((2 r - 1) cos sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6))/(sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6)) d r = int (cos sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6))/(sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6)) (2 r - 1) d r

int (cos sqrt(u))/(sqrt(u)) * (d u)/(12)

Passo 2

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = sqrt(u)

Derivando dos dois lados:

d w = (d u)/(2 sqrt(u))

2 d w = (d u)/(sqrt(u))

Substituindo na integral:

int (cos sqrt(u))/(sqrt(u)) * (d u)/(12) = (1)/(12) int cos sqrt(u) (d u)/(sqrt(u)) = (1)/(12) int cos w 2 d w

Passo 3

Vamos resolver a integral agora:

(1)/(12) int cos w 2 d w = (1)/(6) int cos w d w = (1)/(6) sin w

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(1)/(6) sin w = (1)/(6) sin sqrt(u) = (1)/(6) sin sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6) + C

Protinho!!!

Resposta

(1)/(6) sin sqrt(3 (2 r - 1)^2 + 6) + C

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