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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 49

No Exercício y = int_1^x (t^2)/(t^2 + 4) d t - int_3^x (t^2)/(t^2 + 4) d t , determine (d y)/(d x) .

Passo 1

Para determinar o valor de (d y)/(d x) vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: (d)/(d x) int_a^b f ( x ) d x = f (b) . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = int_1^x (t^2)/(t^2 + 4) d t - int_3^x (t^2)/(t^2 + 4) d t

(d y)/(d x) = (d)/(d x) (int_1^x (t^2)/(t^2 + 4) d t - int_3^x (t^2)/(t^2 + 4) d t)

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar a propriedade de derivação sobre subtração:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) int_1^x (t^2)/(t^2 + 4) d t - (d)/(d x) int_3^x (t^2)/(t^2 + 4) d t

E usando o Teorema fundamental do Cálculo:

= ((x^2)/(x^2 + 4) . ( x ) ') - ((x^2)/(x^2 + 4) . ( x ) ')

= 0

Resposta

(d y)/(d x) = 0

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