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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 73

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 0 π cos ⁡ x   d x 1 + s e n 2 x

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma d u 1 + u 2 é a derivada da função de sen h - 1 ⁡ u , podemos fazer a substituição u = s e n   x → d u = cos ⁡ x para facilitar as coisas...

    2. ∫ d u 1 + u 2 = s e n h - 1 u + C

    Agora a gente volta para a variável x ...

    s e n h - 1 u + C = s e n h - 1 s e n   x ] π 0

    Aplicando os limites de integração, temos:

    s e n h - 1 s e n   x ] π 0 = s e n h - 1 0 - s e n h - 1 0 = 0

    Passo 2

  2. Agora, tendo o valor de x = 0 , podemos verificar a resposta em termos de logaritmos naturais (embora a resposta seja óbvia nesse caso):

s e n h - 1 0 = ln ⁡ ( 0 + 0 2 + 1 ) = ln ⁡ 1 = 0

Então...

s e n h - 1 0 - s e n h - 1 0 = 0 - 0 = 0

Como esperado.

Resposta

  1. 0
  2. 0
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Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 5 - 2 g ( x )d x
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x
Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x