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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 51

Calcule a integral:

int_(ln 2)^(ln 4) c o t g h x d x

Passo 1

Vamos reescrever a integral como:

int_(ln 2)^(ln 4) c o t g h x d x = int_(ln 2)^(ln 4) (cosh x)/(s e n h x) d x

Vamos fazer a substituição: u = s e n h x d u = c o s h d x

Aí reescrevemos como uma integral indefinida (para não ter que mudar os limites de integração)...

int (d u)/(u) = ln u + C

Passo 2

Vamos voltar para a variável x agora:

ln u + C = ln |s e n h x| ]_(l n 2)^(l n 4)

Sabendo que s e n h x = (e^x - e^(- x))/(2) ...

ln |s e n h x| ]_(l n 2)^(l n 4) = ln |(e^x - e^(- x))/(2)|_(ln 2)^(ln 4)

Aí é só jogar os limites:

ln |(e^x - e^(- x))/(2)|_(ln 2)^(ln 4) = ln (e^(l n 4) - e^(- l n 4))/(2) - ln ((e^(l n 2) - e^(- l n 2))/(2)) = ln (4 - (1)/(4))/(2) - ln (2 - ((1)/(2)))/(2) = ln ((15)/(4))/(2) - ln ((3)/(2))/(2) = ln (15)/(8) - ln (3)/(4) = ln ((15)/(8))/((3)/(4)) = ln (15)/(8) . (4)/(3) = ln (5)/(2)

Resposta

ln (5)/(2)

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