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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 41

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x

Passo 1

Fala, pessoal! Tranquilo?

Nossa questão pede o cálculo da integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x

Transformando em coordenadas esféricas. Então vamos usar as relações:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

E:

d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

E depois da transformação feita, é só calcularmos nossa integral tripla de forma iterada, “de dentro para fora”.

Vamos lá!

Passo 2

Precisamos primeiro escrever a integral em coordenadas esféricas e daí calculá-la. Note que a variável z vai de z = x 2 + y 2 (cone) até z = 2 - x 2 - y 2 (parte de cima de uma esfera). Escrevendo essas equações em coordenadas esféricas:

z ≥ x 2 + y 2 ⇒ ρ cos ⁡ ϕ ≥ ρ   s e n   ϕ ⇒ t g   ϕ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ϕ ≤ π 4

z ≤ 2 - x 2 - y 2 ⇒ ρ ≤ 2

Além disso, como no plano x y , y vai de 0 até 1 - x 2 e x varia no intervalo [ 0,1 ] , temos que nos restringir apenas ao primeiro quadrante: 0 ≤ θ ≤ π / 2 . Assim, a integral pode ser reescrita como:

∫ 0 2 d ρ ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 4 ρ   s e n   ϕ cos ⁡ θ ⋅ ρ   s e n   ϕ   s e n   θ ⋅ ρ 2   s e n   ϕ   d ϕ

Assim,

∫ 0 2 ρ 4   d ρ ∫ 0 π / 2 s e n   θ cos ⁡ θ   d θ ∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ

Passo 3

A primeira integral:

∫ 0 2 ρ 4   d ρ = ρ 5 5 0 2 = 4 2 5

Já a segunda é feita fazendo u = s e n   θ :

∫ 0 π / 2 s e n   θ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 1 u   d u = 1 2

Por fim, a última é feita fazendo u = cos ⁡ ϕ :

∫ 0 π / 4 s e n 3 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π / 4 1 - cos 2 ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ = ∫ 2 / 2 1 1 - u 2   d u

Assim,

∫ 0 π 4 s e n 3 ϕ   d ϕ = u - u 3 3 2 2 1

Aplicando os limites de integração:

= 1 - 2 2 - 1 3 1 - 1 2 2 = 1 - 1 3 - 2 2 + 2 12

Somando os termos:

= 2 3 - - 5 2 12

Portanto,

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x y   d z   d y   d x = 4 2 5 ⋅ 1 2 ⋅ 1 3 2 - - 5 2 4

Simplificando novamente:

= 2 15 2 2 - 5 2 = 1 15 ( 4 2 - 5 )

Resposta

1 15 ( 4 2 - 5 )

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