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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 26

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é delimitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 no primeiro octante.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem?

A questão pede pra usar coordenadas esféricas pra calcular essa integral aqui:

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V

Onde E é a região delimitada no primeiro octante pela esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 9

Show, né? Primeiro precisamos relembrar algumas informações sobre as coordenadas esféricas:

x ,   y ,   z = ( ρ , θ , ϕ )

x =   ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y =   ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,

z =   ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Precisaremos encontrar nossos limites de integração, onde E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

Temos que:

x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⏟ ρ 2

Então,

0 ≤ ρ ≤ 3

Como estamos no primeiro octante, vamos ter

0 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Pronto, agora é só substituir:

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Como temos um expoente 2 numa raiz quadrada, podemos eliminá-los:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e ρ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Passo 2

Descobrimos a nossa integral nas coordenadas esféricas, né?

Podemos agora organizar e dividi-la em três integrais, cada um com seus respectivos integrandos:

∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ

Com a primeira:

∫ 0 π 2 d θ

θ 0 π 2 = π 2 - 0 = π 2

Com a segunda:

∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ

- cos ⁡ ϕ 0 π 2 = - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0

- 0 - - 1 = 1

Passo 3

Com a última vamos integrar por partes, já que temos um polinômio e um e .

A fórmula é essa aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar

u = ρ 2 → d u = 2 ρ d ρ

d v = e ρ d ρ → v = e ρ

Vamos substituir agora:

ρ 2 e ρ 0 3 - ∫ 0 3 e ρ 2 ρ d ρ

Colocando o 2 , como se fosse uma constante, para fora da integral:

ρ 2 e ρ 0 3 - 2 ∫ 0 3 e ρ ρ d ρ

Vamos integrar por partes novamente:

Vamos chamar, então:

u = ρ → d u = d ρ

d v = e ρ d ρ → v = e ρ

E substituindo novamente:

∫ 0 3 e ρ ρ d ρ

ρ e ρ 0 3 - ∫ 0 3 e ρ d ρ

3 e 3 - e ρ 0 3

Colocando os limites de integração, teremos:

3 e 3 - e 3 - e 0 = 2 e 3 + 1

Voltando à expressão:

ρ 2 e ρ 0 3 - 2 ∫ 0 3 e ρ ρ d ρ

Descobrimos que

3 2 e 3 - 2 2 e 3 + 1

Organizando...

9 e 3 - 4 e 3 - 2

5 e 3 - 2

Passo 4

Pronto, agora é só juntar:

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V

∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 π 2 sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 3 e ρ ρ 2 d ρ

π 2 ⋅ 1 ⋅ 5 e 3 - 2

π 2 5 e 3 - 2

Molezaaa! 😊

Resposta

∭ E e x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 e ρ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = π 2 5 e 3 - 2

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