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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 5

Calcule a integral usando integração por partes

int (x + 1)^2 e^x d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = (x + 1)^2 => d u = 2 (x + 1) . ( 1 ) d x => d u = 2 (x + 1) d x ,,

d v = e^x => v = e^x

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int (x + 1)^2 e^x d x

= (x + 1)^2 e^x - int e^x 2 (x + 1) d x

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= (x + 1)^2 e^x - 2 int e^x (x + 1) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = x + 1 => d u = d x ,

d v = e^x => v = e^x

Sendo assim,

=> int x e^x d x = (x + 1) e^x - int e^x d x = (x + 1) e^x - e^x

Logo,

int (x + 1)^2 e^x d x = (x + 1)^2 e^x - 2 [ (x + 1) e^x - e^x ]

= e^x [ (x + 1)^2 - 2 (x + 1) + 2 ]

Portanto,

int (x + 1)^2 e^x d x = e^x [ (x + 1)^2 - 2 (x + 1) + 2 ] + C

Resposta

int (x + 1)^2 e^x d x = e^x [ (x + 1)^2 - 2 (x + 1) + 2 ] + C

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