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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 24

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ e 3 x cos ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = e 3 x ;

d u = 3 e 3 x d x ;

d v = cos ⁡ 4 x d x ;

v = ∫ cos ⁡ 4 x   d x = 1 4 s e n   4 x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = e 3 x ⋅ 1 4 s e n   4 x - ∫ 1 4 s e n   4 x ⋅ 3 e 3 x d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes:

u = e 3 x ;

d u = 3 e x   d x ;

d v = s e n   4 x   d x ;

v = ∫ sen ⁡ 4 x   d x = - 1 4 c o s   4 x .

∫ u d v = e 3 x 4 s e n   4 x - ∫ 1 4 s e n   4 x ⋅ 3 e 3 x d x

∫ u d v = e 3 x 4 s e n   4 x - 3 4 [ e 3 x ⋅ - 1 4 cos ⁡ 4 x - ∫ - 1 4 cos ⁡ 4 x ⋅ 3 e 3 x d x

∫ u d v = - x 3 4 cos ⁡ 4 x + 3 16 x 2 s e n   4 x - 3 8 ∫ x ⋅ s e n   4 x   d x

Há uma repetição do termo ∫ u d v ao longo da resolução da integral, então para não escrevermos uma integral totalmente confusa, faremos:

∫ u d v = e 3 x 4 s e n   4 x + 3 16 e 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x - 9 16 ∫ u d v

∫ u d v + 9 16 ∫ u d v = e 3 x 4 s e n   4 x + 3 16 e 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x

∫ u d v = 4 e 3 x s e n   4 x + 3 e 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x 25

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

4 e 3 x s e n   4 x + 3 e 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x 25 + c

Resposta

4 e 3 x s e n   4 x + 3 e 3 x ⋅ cos ⁡ 4 x 25 + c

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