Enunciado

1-38 Calcule a integral.

28. int_0^1 x e^(- 5 x) d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = x e e^(- 5 x) = d v .

{[[u = x -> d u = d x],[e^(- 5 x) = d v -> v = (e^(- 5 x))/(- 5)]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_0^1 x e^(- 5 x) d x = (x (e^(- 5 x))/(- 5)|_0^1 - int_0^1 (e^(- 5 x))/(- 5) d x

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

int_0^1 (e^(- 5 x))/(- 5) d x = - (1)/(5) int_0^1 e^(- 5 x) d x = - (1)/(5) ((e^(- 5 x))/(- 5)|_0^1 = (e^(- 5))/(25) - (1)/(25)

(e^(- 5) - 1)/(25)

Por último, é só a gente calcular isso aqui

(x (e^(- 5 x))/(- 5)|_0^1

Molezaaa!!!

(x (e^(- 5 x))/(- 5)|_0^1 = - (e^(- 5 x))/(5)

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

int_0^1 x e^(- 5 x) d x = - (( e^(- 5 x) - 1 ))/(25) - (e^(- 5 x))/(5) = (- 6 e^(- 5 x) + 1)/(25)

Resposta

(- 6 e^(- 5 x) + 1)/(25)

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